ความแตกต่างระหว่างฟังก์ชั่นแบบไม่ต่อเนื่องและฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่อง

ฟังก์ชั่นแบบไม่ต่อเนื่องเทียบกับฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่อง

ฟังก์ชั่นเป็นหนึ่งในชั้นเรียนที่สำคัญที่สุดของวัตถุทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็น ใช้อย่างกว้างขวางในเกือบทุกสาขาย่อยของคณิตศาสตร์ เป็นชื่อของพวกเขาแนะนำทั้งฟังก์ชั่นไม่ต่อเนื่องและฟังก์ชั่นต่อเนื่องเป็นสองประเภทพิเศษของการทำงาน

ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ระหว่างสองชุดที่กำหนดไว้ในลักษณะที่ว่าสำหรับแต่ละองค์ประกอบในชุดแรกค่าที่ตรงกับชุดอักขระที่สองนั้นไม่ซ้ำกัน ให้ f เป็นฟังก์ชันที่กำหนดจากชุด A ลงในชุด B แล้วสำหรับแต่ละ x ε A, สัญลักษณ์ f (x) หมายถึงค่าที่ไม่ซ้ำกันในชุด B ที่ตรงกับ x เรียกว่าภาพของ x ใต้ ​​ f ดังนั้นความสัมพันธ์ f จาก A ไป B เป็นฟังก์ชันถ้าและเพียงถ้าเป็น xε A และ y ε A; ถ้า x = y จากนั้น f (x) = f (y) ชุด A เรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน f, และเป็นชุดที่มีการกำหนดฟังก์ชันไว้

ตัวอย่างเช่นพิจารณาความสัมพันธ์

f จาก R เป็น R กำหนดโดย f (x) = x + 2 สำหรับแต่ละ xε A < นี่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น R สำหรับแต่ละจำนวนจริง x และ y, x = y หมายถึง f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y) แต่ความสัมพันธ์ g จาก N เป็น N ที่กำหนดโดย g (x) = a, โดยที่ 'a' เป็นปัจจัยสำคัญของ x ไม่ใช่ฟังก์ชันที่ g (6) = 3 รวมทั้ง g (6) = 2

ฟังก์ชั่นแบบไม่ต่อเนื่องคืออะไร? ฟังก์ชั่นแบบแยกเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนนับได้มากที่สุด เพียงแค่นี้หมายความว่าคุณสามารถสร้างรายชื่อที่มีองค์ประกอบทั้งหมดของโดเมนได้ ชุด จำกัด ทั้งหมดจะนับได้มากที่สุด ชุดของจำนวนธรรมชาติและชุดของจำนวนที่มีเหตุผลเป็นตัวอย่างสำหรับชุดนับอนันต์ที่นับได้มากที่สุด ชุดของจำนวนจริงและชุดของตัวเลขไม่ลงตัวไม่ได้ที่นับได้มากที่สุด ทั้งสองชุดจะนับได้ หมายความว่าไม่สามารถทำรายการที่มีองค์ประกอบทั้งหมดของชุดเหล่านั้นได้

หนึ่งในฟังก์ชั่นที่ไม่ต่อเนื่องที่พบมากที่สุดคือฟังก์ชันแฟกทอเรียล

ฉ

: NU {0} → N กำหนดซ้ำโดย

ฉ

(n) = n ฉ (n-1) สำหรับแต่ละ n ≥ 1 และ f (0) = 1 เรียกว่า factorial function สังเกตว่าโดเมน N U {0} เป็นที่นับได้มากที่สุด ฟังก์ชั่นต่อเนื่องคืออะไร? ให้ ฉ เป็นฟังก์ชั่นดังกล่าวว่าสำหรับแต่ละ k ประสิทธิภาพของ

ฉ

ฉ (x) → ฉ (k) เมื่อ x → k จากนั้น f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ซึ่งหมายความว่ามันเป็นไปได้ที่จะทำให้ ฉ (x) ใกล้พลไปที่ ฉ (k) โดยการ x พอใกล้กับ k สำหรับแต่ละ k ในโดเมนของการ ฉ พิจารณาฟังก์ชัน f (x) = x + 2 ใน R. สามารถมองเห็นได้ว่าเป็น x → k, x + 2 → k + 2 นั่นคือ f

(x) → ฉ (k) ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ตอนนี้ให้พิจารณา g กับจำนวนจริงที่เป็นบวก g (x) = 1 ถ้า x> 0 และ g (x) = 0 ถ้า x = ฟังก์ชันนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องเนื่องจากไม่มีขีด จำกัด ของ g (x) (และด้วยเหตุนี้จึงไม่เท่ากับ g (0)) เป็น x → 0. ความแตกต่างระหว่างฟังก์ชั่นแบบไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่องคืออะไร? •ฟังก์ชั่นแบบแยกส่วนคือฟังก์ชันที่มีโดเมนมากที่สุด แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นกรณีในฟังก์ชันต่อเนื่อง •ทุกฟังก์ชันอย่างต่อเนื่องƒมีคุณสมบัติที่ƒ (x) →ƒ (k) เป็น x → k สำหรับแต่ละ x และสำหรับแต่ละ k ในโดเมนของƒ แต่ไม่ใช่กรณีในฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องบางอย่าง