ความแตกต่างระหว่าง Orthogonal และ Orthonormal

คำศัพท์ในทางออร์โธดอกซ์กับภาษาสันสกฤต

ในทางคณิตศาสตร์คำสองคำ orthogonal และ orthonormal มักใช้ควบคู่กับชุดของเวกเตอร์ ที่นี่คำว่า 'เวกเตอร์' ใช้ในแง่ที่ว่ามันเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ - เป็นโครงสร้างเกี่ยวกับพีชคณิตที่ใช้ในพีชคณิตเชิงเส้น สำหรับการสนทนาของเราเราจะพิจารณาพื้นที่ภายในของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์พื้นที่ V พร้อมกับผลิตภัณฑ์ภายใน [] ที่กำหนดไว้ใน V

ตัวอย่างเช่นสำหรับผลิตภัณฑ์ภายในช่องว่างคือชุดของเวกเตอร์ตำแหน่ง 3 มิติทั้งหมดพร้อมกับผลิตภัณฑ์ดิสเพลย์ตามปกติ

มุมฉากคืออะไร?

S ของพื้นที่ด้านในของสินค้า V กล่าวได้ว่าเป็นมุมฉากถ้าและเฉพาะเมื่อแต่ละ แตกต่าง u, v ใน S , [u, v] = 0; ผม. อี ผลิตภัณฑ์ภายในของ u และ v เท่ากับศูนย์สเกลาร์เป็นศูนย์ในพื้นที่ภายในของผลิตภัณฑ์

ตัวอย่างเช่นในชุดของเวกเตอร์ตำแหน่ง 3 มิติทั้งหมดนี้เทียบเท่ากับการบอกว่าสำหรับแต่ละคู่ของตำแหน่งเวกเตอร์ p และ q < ใน S, p และ q ตั้งฉากกับแต่ละอื่น ๆ (โปรดจำไว้ว่าผลิตภัณฑ์ด้านในเวกเตอร์เวกเตอร์นี้เป็นผลิตภัณฑ์จุดนอกจากนี้ผลิตภัณฑ์จุดของสองเวกเตอร์เท่ากับ 0 ถ้าหากทั้งสองเวกเตอร์ตั้งฉากกับกันและกัน) - 9 ->

พิจารณาชุด

S = {(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)} ซึ่งเป็นเซตย่อย ของเวกเตอร์ตำแหน่ง 3 มิติ สังเกตว่า (0, 2, 0) (4, 0, 0) = 0 , (4, 0, 0) (0, 0, 5) = 0 & (0, 2, 0) (0, 0, 5) = 0 ดังนั้นชุด S เป็นมุมฉาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งสองเวกเตอร์จะกล่าวเป็นมุมฉากถ้าผลิตภัณฑ์ภายในของพวกเขาคือ 0 ดังนั้นคู่ของพาหะใน S คือ orthogonal orthonormal คืออะไร?

เว้นวรรค

u ใน S , [u, u] = 1. ดังนั้นจึงสามารถมองเห็นได้ว่าทุกชุด orthonormal เป็นแบบมุมฉาก แต่ไม่ได้ในทางกลับกัน

ตัวอย่างเช่นในชุดของเวกเตอร์ตำแหน่ง 3 มิติทั้งหมดนี่เทียบเท่ากับการบอกว่าสำหรับแต่ละคู่ของตำแหน่งเวกเตอร์ p และ q ใน และ q จะตั้งฉากกับแต่ละอื่น ๆ และสำหรับ

, | p | = 1 เนื่องจากเงื่อนไข [p, p] = 1 ลดเป็น p. p = cos0 = | p | 2 = 1 ซึ่งเท่ากับ | p | = ^{1 ดังนั้นด้วยชุดมุมฉากที่เราสามารถสร้างชุด orthonormal ที่สอดคล้องกันได้โดยการหารแต่ละเวกเตอร์ตามขนาดของมัน} T = {(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} เป็นเซตย่อยทางอนันต์ของชุดของเวกเตอร์ตำแหน่ง 3 มิติทั้งหมดมันง่ายที่จะเห็นว่ามันได้โดยการหารแต่ละเวกเตอร์ในชุด S

โดยขนาดของพวกเขา ความแตกต่างระหว่าง orthogonal กับ orthonormal คืออะไร? เซตย่อย nonempty S

ของพื้นที่ด้านในของสินค้า

• V ว่าเป็นมุมฉากถ้าและเฉพาะเมื่อแต่ละ u, v ใน S , [u, v] = 0 อย่างไรก็ตามหากมีเงื่อนไขเพิ่มเติม - สำหรับแต่ละเวกเตอร์ u ใน S , [u, u] = 1 เป็นที่พอใจ ชุด orthonormal ใด ๆ ที่เป็นมุมฉาก แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน ชุด orthogonal ใด ๆ ที่สอดคล้องกับชุด orthonormal ที่ไม่ซ้ำกัน แต่ชุด orthonormal อาจตรงกับชุด orthogonal จำนวนมาก