ความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่มีเหตุผลและไม่มีเหตุผล ความแตกต่างระหว่าง

คำว่า "ตัวเลข" นำความคิดของเรามาพิจารณาว่าเป็นค่าจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 0 ตัวเลขอื่น ๆ ได้แก่ ตัวเลข ตัวเลขทั้งหมด และ เศษส่วน , ที่ซับซ้อน และ ตัวเลขจริง และ จำนวนเต็มค่าลบ

การขยายการจำแนกตัวเลขต่อไปเราพบตัวเลข มีเหตุมีผล และ ไม่ลงตัว จำนวนที่มีเหตุผลหมายถึงตัวเลขที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งจำนวนเหตุผลที่สามารถเขียนเป็นอัตราส่วนสองตัวเลข

พิจารณาตัวอย่างเช่นจำนวน 6 มันสามารถเขียนเป็นอัตราส่วนของตัวเลขสอง ได้แก่ 6 และ 1 ซึ่งจะมีอัตราส่วน 6/1 ในทำนองเดียวกัน 2/3 ซึ่งเขียนเป็นเศษเล็กเศษน้อยเป็นจำนวนตรรกยะ

เราสามารถกำหนดจำนวนที่มีเหตุผลเป็นตัวเลขที่เขียนในรูปของเศษซึ่งทั้งเลข (ตัวเลขด้านบน) และตัวหาร (จำนวนที่อยู่ด้านล่าง) เป็นจำนวนเต็ม ตามความหมายดังนั้นจำนวนทั้งหมดเป็นจำนวนที่มีเหตุผล

อัตราส่วนสองจำนวนมากเช่น ( 129, 367, 871 ) / ( 547, 724, 863 ) ก็จะเป็นตัวอย่างของจำนวนเหตุผลด้วยเหตุผลง่ายๆที่ทั้งตัวเศษและตัวหารเป็นตัวเลขจำนวนเต็ม

ตรงกันข้ามหมายเลขใด ๆ ที่ไม่สามารถแสดงในรูปแบบของเศษส่วนหรืออัตราส่วนที่เรียกว่าเป็นเหตุผล ตัวอย่างที่อ้างถึงมากที่สุดของจำนวนที่ไม่ลงตัวคือ √ 2 ( 1. 414213 …) อีกตัวอย่างที่เป็นที่นิยมของจำนวนที่ไม่สมเหตุผลคือค่าคงที่เป็นตัวเลข π ( 3. 141592 … )

จำนวนที่ไม่มีเหตุผลสามารถเขียนเป็นทศนิยม แต่ไม่เป็นเศษส่วน ตัวเลขที่ไม่ จำกัด มักไม่ค่อยใช้ในชีวิตประจำวันแม้ว่าจะอยู่ในบรรทัดหมายเลขก็ตาม มีตัวเลขไม่ลงตัวจำนวนอนันต์ระหว่าง

0 และ 1 ในบรรทัดจำนวน จำนวนที่ไม่สมเหตุผลมีตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งอยู่ทางขวาของจุดทศนิยม โปรดทราบว่าค่าที่อ้างถึง

22/7

สำหรับค่าคงที่ π เป็นเพียงค่าเดียวเท่านั้น π > ตามนิยามเส้นรอบวงของวงกลมหารด้วยรัศมีสองเท่าคือค่าของπ ซึ่งนำไปสู่ค่าหลายค่า π รวมถึง แต่ไม่ จำกัด เพียง 333/106, 355/113 และอื่น ๆ 1 เฉพาะรากที่สองของจำนวนสี่เหลี่ยม ผม. อี, รากที่สองของ สี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ มีเหตุผล

√1 = 1

(เหตุผล)

√2 (ไม่สมเหตุสมผล) √3

(ไม่สมเหตุสมผล) √4 < = 2

(เหตุผล) √5, √6, √7, √8 (ไม่สมเหตุสมผล)

√9 = 3 (เหตุผล) และอื่น ๆ

นอกจากนี้เราทราบว่าเฉพาะราก n

ของ n พลังอำนาจมีเหตุผล ดังนั้น

6 รากของ 64 มีเหตุผลเนื่องจาก 64 คือ 6th อำนาจคือ 6 กำลังของ 2 แต่รากของ 6 ของ 63 ก็ไม่มีเหตุผล 63 ไม่สมบูรณ์ 6 th กำลังไฟ

อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้แสดงให้เห็นถึงทศนิยมของเหตุผลที่เข้ามาในภาพและก่อให้เกิดผลลัพธ์ที่น่าสนใจบางอย่าง ตัวเลขเป็นทศนิยมแล้วทศนิยมจะเป็น

แน่นอน

(เช่นเดียวกับ

1/5 = 0) 20) หรือจะ ไม่ถูกต้อง (เช่น 1/3 ≈ 0. 3333 ) ในทั้งสองกรณีจะมีรูปแบบที่คาดการณ์ได้ของตัวเลข โปรดทราบว่าเมื่อตัวเลข ไม่สมเหตุสมผล แสดงเป็นทศนิยมแล้วจะเห็นได้ชัดว่าไม่ถูกต้องเพราะมิฉะนั้นตัวเลขจะมีเหตุผล นอกจากนี้จะไม่มีรูปแบบที่คาดการณ์ได้ของตัวเลข ตัวอย่างเช่น √2≈ 1. 4142135623730950488016887242097 ขณะนี้ด้วยตัวเลขที่มีเหตุผลบางครั้งเราพบ 1/11 = 0 0909090

บางครั้ง

การใช้ทั้งเครื่องหมายเท่ากับ (= =) และสามจุด ( จุดหักเห ) หมายความว่าแม้ว่าจะไม่สามารถแสดง 1/11 ได้อย่างถูกต้อง เป็นทศนิยมเรายังคงสามารถประมาณจำนวนทศนิยมได้มากเท่าที่อนุญาตให้เข้าใกล้

1/11 ดังนั้นรูปทศนิยมของ 1/11 ถือว่าไม่ถูกต้อง ในทำนองเดียวกันรูปทศนิยมของ ¼ ซึ่งเป็น 0.25 เป็นที่แน่นอน มาถึงรูปทศนิยมสำหรับตัวเลขที่ไม่มีเหตุผลพวกเขาจะไม่ถูกต้องเสมอ ต่อไปด้วยตัวอย่างของ √

2 เมื่อเราเขียน √2 = 1. 41421356237 … (สังเกตการใช้จุดไข่ปลา) ทันทีที่ไม่มีความหมายว่า > √2 จะแน่นอน นอกจากนี้จะไม่มีรูปแบบที่คาดการณ์ได้ของตัวเลข การใช้แนวความคิดจากวิธีการเชิงตัวเลขเราสามารถประมาณจำนวนทศนิยมได้มากที่สุดจนถึงจุดที่เราใกล้เคียงกับ

√2 ข้อสังเกตเกี่ยวกับตัวเลขที่สมเหตุสมผลและไม่สมเหตุสมผลไม่สามารถยุติได้หากไม่มีหลักฐานยืนยันว่าเหตุใด√ 2 จึงไม่มีเหตุผล ในการทำเช่นนี้เรายังได้อธิบายตัวอย่างที่คลาสสิกของการ proof โดย cont radiction สมมติว่า√2มีเหตุผล นี่ทำให้เราเป็นตัวแทนของอัตราส่วนสองจำนวนเตยพูด p และ q

√ 2 = p / q จำเป็นต้องพูด

p

และ q ไม่มีปัจจัยร่วมกันเพราะหากมีปัจจัยร่วมกันใด ๆ เราก็จะยกเลิก พวกเขาออกจากตัวเศษและตัวหาร การบีบทั้งสองด้านของสมการเราท้ายด้วย

2 = p

2 / q 2 คุณสามารถเขียนได้อย่างสะดวกเช่น p

2

= 2q > 2

สมการสุดท้ายแสดงให้เห็นว่า

2 เป็นไปได้ นี่เป็นไปได้เฉพาะเมื่อ

ซึ่งหมายความว่า

p

2 สามารถหารด้วย 4 ดังนั้น

q 2 และดังนั้น q ต้องเป็นไปได้ดังนั้น p และ q ถึงแม้จะเป็นข้อขัดแย้งกับสมมติฐานเบื้องต้นของเราว่าไม่มีปัจจัยร่วม ดังนั้น √2 ไม่สามารถมีเหตุผลได้ ถาม E. D